ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

 APROXIMACIÓN  DE  POISSON A  LA  BINOMIAL.

En este caso se determinarán probabilidades de experimentos Binomíales, pero que dadas sus características, es posible aproximarlas con la distribución de Poisson, estas características son, n ¥® ( n es muy grande) y p®0 (p es muy pequeña), por lo que:

La expresión anterior solo se cumple cuando n ®¥ y  p®0, solo en este caso, si esto no se cumple, la aproximación no se puede llevar a efecto, por lo que la fórmula a utilizar en este caso sería:

                                                     Formula modificada                 

Donde:

l =m= np = número esperado de éxitos = tasa promedio de éxitos

n = número de repeticiones del experimento

p = probabilidad de éxito = p(éxito)

Una regla general aceptable es emplear esta aproximación si n³20 y p£0.05: sí n³100, la aproximación es generalmente excelente siempre y cuando np£10.

Ejemplos:

1.     Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas, usando, a) la fórmula de la distribución Binomial, b) la aproximación de Poisson a la distribución Binomial.

Solución:

a) n = 100

p = 0.05 = p(encuadernación defectuosa) = p(éxito)

q = 0.95 = p(encuadernación no defectuosa) = p(fracaso)

 r = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas

      b) n = 100 encuadernaciones

      p = 0.05

      l = np = (100)(0,05)= 5

x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas

Al comparar los resultados de las probabilidades con una y otra distribución, nos damos cuenta de que la diferencia entre un cálculo y otro es de tan solo 0.0031, por lo que la aproximación de Poisson es una buena opción para calcular probabilidades Binomiales.

2. Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840 generadores de gran tamaño con garantía. Sí la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 1/1200 determine la probabilidad de que a) 4 generadores fallen durante el año en cuestión, b) que más 1 de un generador falle durante el año en cuestión.

Solución:

a) n = 3840 generadores

p = 1/1200 = probabilidad de que un generador falle durante el año de garantía

l = np = (3840)(1/1200) = 3.2 motores en promedio pueden fallar en el año de garantía

x = variable que nos define el número de motores que pueden fallar en el año de garantía =

= 0, 1, 2, 3,....,3840 motores que pueden fallar en el año de garantía

                 

b)  p(r=2,3,4,....,3840;l=3.2)=1-p(r=0,1;l=3.2) =

                   =1- (0.04078 + 0.13048) = 0.82874

3. En un proceso de manufactura, en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio 1 de cada 1000 piezas tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8000 piezas, menos de 3 de ellas tengan burbujas?

Solución:

n = 8000 piezas

p = 1/1000= 0.001 probabilidad de que una pieza tenga 1 o más burbujas

l = np = (8000)(1/1000) = 8 piezas en promedio con 1 o más burbujas

r = variable que nos define el número de piezas que tienen 1 o más burbujas =

= 0,1, 2, 3,....,8000 piezas con una o más burbujas

= 0.000336 + 0.002686 + 0.010744 = 0.013766

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

DISTRIBUCIÓN DE POISSON.-

Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc.:

- # de defectos de una tela por m²

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.

- # de bacterias por cm² de cultivo

- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.

- # de llegadas de embarcaciones a  un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

 donde:

p(x, l) = probabilidad de que ocurran r éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es l

l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto (numero de ocurrencias)

                  e = 2.718

                  r = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

  

Ejemplos:

1.      Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

 Solución:

a)                 r = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en n día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.

l = 6 cheques sin fondo por día

e = 2.718

                    b)   r = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que  llegan al banco en dos días consecutivos

Nota: l siempre debe de estar en función de r siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que r.

                        

2.      En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

Solución:

a)                 r = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

l = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

                       

 b)                r = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

l = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

                     

                 c)                 r = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15                     minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.

l = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

3.-   Si un Banco recibe un promedio de l=6 cheque sin fondos por día ¿Cuál es la probabilidad de que reciba 4 cheques sin fondo en un dia determinado?

a)                 r = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

l = 6  promedio de cheques sin fondo por día

        4.-  Entre 16 maquinas que se vendieron a un distribuidor, hay 7 que tienen defectos mínimos si el departamento de control de calidad selecciona al azar dos de estas maquinas para revisar si hay defectos

a)  ¿Cuales son las probabilidades de que ninguna maquina revisada tenga defectos?

b)  Una maquina tenga defectos

c) Ambas maquinas tengan defectos

a)                 r = la maquina revisada tenga defectos = 0,

b)                r = la maquina revisada tenga defectos = 1,

c)                 r = la maquina revisada tenga defectos = 2,

Hola amigos, hoy les presentare el siguiente problema para que puedas aplicarlos con tus alumnos o tus compañeros.
Tenemos a los Super Héroes y Villanos, hay que averiguar cuanto es el valor de cada uno de ellos, para finalmente encontrar el valor del mayor de los villanos que es GALACTUS el devorador de planetas.


SUPER PROBLEMA 1
Ahora te plantearemos este super ejemplo, en el cual tendrás que encontrar el valor de Galactus, tomando en cuenta los valores de los demás super héroes y villanos.

 Toma en cuenta lo siguiente:

Diviertete con este problemay encuentra la solucion

 ¿Qué es la suma?

 La suma es una de las operaciones básicas que podemos realizar con los números y las cosas. A veces sin saberlo muy bien, en nuestra vida diaria nos topamos con problemas que requieren que operemos mediante una suma.

Una de las maneras más simples de sumar es contar uno por uno los elementos que se van agregando. Eso es bueno para cantidades pequeñas, sin embargo, cuando necesitamos realizar sumas en reiteradas oportunidades, necesitamos una hoja y un lápiz o una calculadora.

 Propiedades de la suma

La suma tiene cuatro propiedades. Las propiedades son:

     Ø  Conmutativa

    Ø  Asociativa

    Ø  Distributiva

    Ø  Elemento neutro.

             Propiedad conmutativa: 

                   Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del                 orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 = 2+4

El orden en que coloques los números para sumar, no cambia  el resultado.

Propiedad asociativa: 

Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo (2+3) + 4= 2 + (3+4)

Cuando sumamos varios números podemos usar los paréntesis para agruparlos y da lo mismo si agrupamos primero unos y luego los demás.

 Propiedad distributiva: 

La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3

        PROBLEMAS DE SUMA

         EJEMPLOS PASO A PASO

         Ejemplo: SUMAS SIN LLEVAR

Ejemplo: SUMAS LLEVANDO

CONTINUARA

Bienvenido a mi nuevo Blog, aquí les daré algunas ideas para que el aprendizaje de la matemática sea mas divertida y fácil.
Utilizaremos a los super héroes para aprender las Matemáticas y de esta manera el aprendizaje de las Matemáticas sera muy divertido.